Question

设函数f (x)的定义域为M，具有性质P：对任意x∈M，都有f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1).
（1）若M为实数集R，是否存在函数f (x)＝a^x (a＞0且a≠1，x∈R) 具有性质P，并说明理由；
（2）若M为自然数集N，并满足对任意x∈M，都有f (x)∈N. 记d(x)＝f (x＋1)－f (x).
(ⅰ) 求证：对任意x∈M，都有d(x＋1)≤d(x)且d(x)≥0；
(ⅱ) 求证：存在整数0≤c≤d(1)及无穷多个正整数n，满足d(n)＝c.

Answer 1

(1)根据新定义可知，不存在函数f (x)＝a^x(a＞0且a≠1)满足性质P.
(2)运用反证法来证明正难则反的试题。也是证明不等式常用的方法之一。

解析试题分析：证明：（1）因f (x)＝a^x(a＞0且a≠1)，所以a^x≠a^x+2，即f (x)≠f (x＋2).
2分
由题设以及算术平均与几何平均不等式，得
f (x)＋f (x＋2)＝a^x＋a^x+2＞2＝2 a^x+1＝2 f (x＋1)，
这与f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1)矛盾.
故不存在函数f (x)＝a^x(a＞0且a≠1)满足性质P.                         4分
（2）(ⅰ)由题设对任意，f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1)，所以
f(x＋2)－f(x＋1)≤f(x＋1)－f(x).
于是对任意x∈N，d(x＋1)≤d(x).                                     6分
下面用反证法证明：对任意x∈N，d(x)≥0.
假设存在某个非负整数k使d(k)＜0，则由题设对任意x∈N，f(x)∈N，得d(x)∈Z，于是有d(k)≤－1.                                                    8分
由任意x∈N，d(x＋1)≤d(x)，所以－1≥d(k)≥d(k＋1)≥d(k＋2)≥ ≥d(k＋n)≥ .，这里n是自然数. 于是有
d(k＋n)＋d(k＋(n－1))＋d(k＋(n－2))＋ ＋d(k)≤(n＋1) d(k)≤(n＋1)×(－1).
而d(k＋n)＋d(k＋(n－1))＋d(k＋(n－2))＋ ＋d(k)＝f (k＋n＋1)－f (k)，
所以f (k＋n＋1)－f (k)≤－(n＋1).
取n＝f (k)，得f (k＋f (k)＋1)≤－f (k)－1＋f (k)＝－1，这与f (k＋f (k)＋1)∈N矛盾.
因此，必有对任意x∈N，d(x)≥0.                                  12分
(ⅱ)由(ⅰ)可知 d(1)≥d(2)≥d(3)≥ ≥d(n)≥ ≥0.
当d(1)＝0时，则有d(1)＝d(2)＝d(3)＝ ＝d(n)＝0，结论成立.
当d(1)≠0时，对任意n∈N，有d(n) ∈N，且d(n) ∈[0, d(1)].
因为在区间[0, d(1)]上的自然数只有有限个，而落在此区间上的自然数d(n)有无数多个，所以，必存在自然数c∈[0, d(1)]和无穷多个正整数n，满足d (n)＝c.       16分
考点：不等式的证明
点评：关键是对于新定义的理解和准确的表示，属于中档题。审清题意，要仔细认真，避免误解。