Question

【题目】设.

（I）求的单调区间和最小值；

（II）讨论与的大小关系；

（III）求的取值范围，使得对任意恒成立.

Answer 1

【答案】（1）单增区间为，单减区间为， 的最小值是；（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）根据条件易知，求导，从而可知是的单调减区间， 是的单调递增区间， 的最小值为；（2）构造函数，则，从而在递减，而，从而当，，，当时，，；（3）根据题意可知恒成立等价于，由（1）可知，即解不等式，从而解得．

试题解析：（1）∵， ，∴，∴，令，得，当时， ， 是减函数，故是的单调减区间，当时， ， 是增函数，故是的单调递增区间，∴是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，∴的最小值为；

（2），设， ，在递减，

当， ，即，当，，，当时，，；

（3）由（1）知的最小值为，∴，对任意成立等价于，

即，从而得．