Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点C(

3

2

，

3

2

)且离心率为

6

3

，A、B是长轴的左右两顶点，P为椭圆上意一点（除A，B外），PD⊥x轴于D，若

PQ

=λ

QD

，λ∈(-1，0)．
（1）试求椭圆的标准方程；
（2）P在C处时，若∠QAB=2∠PAB，试求过Q、A、D三点的圆的方程；
（3）若直线QB与AP交于点H，问是否存在λ，使得线段OH的长为定值，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点C代入椭圆方程可得a，b的一个方程，由离心率为

6

3

，得

c

a

=

6

3

，再结合a²=b²+c²可得a，b；
（2）易知所求圆的直径为AQ，通过解直角三角形可求tan∠PAB，由二倍角的正切公式可求tan∠QAB，从而可得Q点的坐标，进而可得圆心、半径；
（3）设P（x₀，y₀），H（x，y），由H、A、P三点共线及Q、H、B三点共线可得x，y的方程组，解出x，y，用x₀，λ表示出OH²，根据其为定值可得方程，解出即可；

解答：解：（1）由椭圆过点C，得

( 3 2 )2

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1，即

3

4a2

+

3

4b2

=1①，
由离心率为

6

3

，得

c

a

=

6

3

，所以

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

2

3

，得a²=3b²②，
联立①②解得a²=3，b²=1，
所以椭圆的标准方程为：

x2

3

+y2=1；
（2）由（1）得A（-

3

，0），
当P在C处时，D（

3

2

，0），P（

3

2

，

3

2

），
tan∠PAB=

PD

AD

=

3 2

3 2 -(- 3 )

=

1

3

，
则tan∠QAB=

2tan∠PAB

1-tan2∠PAB

=

2× 1 3

1-( 1 3 )2

=

3

4

，则

QD

AD

=

3

4

，QD=

3

4

×

3 3

2

=

9 3

8

，
所以Q（

3

2

，

9 3

8

），易知过Q、A、D三点的圆以AQ为直径，则圆心为（-

3

4

，

9 3

16

），直径AQ=

( 3 2 + 3 )2+( 9 3 8 )2

=

15 3

8

，
半径为

15 3

16

，
故所求圆的方程为(x+

3

4

)2+(y-

9 3

16

)2=

675

256

；
（3）存在λ=-

2

3

满足条件，理由如下：
设P（x₀，y₀），则D（x₀，0），由

PQ

=λ

QD

，得（0，y_Q-y₀）=λ（0，-y_Q），可得yQ=

y0

1+λ

，则Q（x0，

y0

1+λ

），
设H（x，y），由H、A、P三点共线，得k_AH=k_AP，即

y

x+ 3

=

y0

x0+ 3

①，同理由Q、H、B三点共线可得

y

x- 3

=

y0

(1+λ)(x0- 3 )

②，
联立①②解得

x= (2 3 + 3 λ)x0-3λ 2 3 +( 3 -x0)λ y= 2 3 y0 2 3 +( 3 -x0)λ

，又点P在椭圆上，所以

x02

3

+y02=1，
所以OH²=x²+y²=[

(2 3 + 3 λ)x0-3λ

2 3 +( 3 -x0)λ

]2+[

2 3 y0

2 3 +( 3 -x0)λ

]2
=[

(2 3 + 3 λ)x0-3λ

2 3 +( 3 -x0)λ

]2+

12(1- x02 3 )

[2 3 +( 3 -x0)λ]2

=

(8+12λ+3λ2)x02-6 3 (2λ+λ2)x0+9λ2+12

λ2x02-(4 3 λ+2 3 λ2)x0+3λ2+12λ+12

，
若线段OH的长为定值，须有

8+12λ+3λ2

λ2

=

-6 3 (2λ+λ2)

-(4 3 λ+2 3 λ2)

=

9λ2+12

3λ2+12λ

，
解得λ=-

2

3

，
故存在满足条件的λ=-

2

3

．

点评：本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强、运算量大，对能力要求很高．