Question

如图，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点

(I) 当点E为AB的中点时,求证；BD₁//平面A₁DE
(II)求点A₁到平面BDD₁的距离；
(III)  当时，求二面角D₁-EC-D的大小.

Answer 1

（1）略  （2）A₁到面BDD₁的距离为 （3）D₁-EC-D的大小为

(I) 要证BD₁//平面A₁DE，只要证明BD₁平行该面内的一条直线，取中点，由中位线可证得；(II)等积法求高；(III)可以用传统法找出平面角也可以向量法求。
解法一：（I）证明：连结AD₁交A₁D于F，则F为中点，连结EF，如图．

∵ E为中点，∴ EF//BD₁．又EF面A₁DE，BD₁面A₁DE，
∴ BD₁//面A₁DE．……………3分
（II）在Rt△ABD中，AB=2AD=2，可得BD=，
∴ ，，
设A₁到面BDD₁的距离为d，则由有
，即，解得 ，
即A₁到面BDD₁的距离为．……………………………………………8分
（III）连结EC．由，有，，
过D作DH⊥EC于H，连结D₁H，由已知面AA₁D₁D⊥面ABCD且DD₁⊥AD，
∴DD₁⊥面ABCD．由三垂线定理知：D₁H⊥EC，∴ ∠DHD₁为D₁-EC-D的平面角．
Rt△EBC中，由，BC=1，得．又DH·EC=DC·BC，代入解得，
∴在Rt△DHD₁中，．∴，即二面角D₁-EC-D的大小为．…………12分
解法二：（I）同解法一．………………3分
（II）由面ABCD⊥面ADD₁A，且四边形AA₁D₁D为正方形，四边形ABCD为矩形，可得D₁D⊥AD，D₁D⊥DC，DC⊥DA．
于是以D为原点，DA，DC，DD₁分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由AB=2AD=2知：D(0，0，0)，D₁(0，0，1)，A₁(1，0，1)，B(1，2，0)，
∴ =(1，2，0)，=(0，0，1)，=(0，2，-1)．设面BDD₁的一个法向量为n₁，
则 即 ∴．
∴ 点A₁到面BDD₁的距离．  …………………………8分
（III）由（II）及题意知：E(1，，0)，C(0，2，0)，，．
设面D₁EC的一个法向量为，
则  即可得．
又易知面DEC的一个法向量是(0，0，1)，
设D₁-EC-D的大小为θ，则，得．
即D₁-EC-D的大小为