Question

向面积为S的三角形ABC内任投一点P，则△PBC的面积小于

S

3

的概率是

5

9

．

Answer 1

分析：在三角形ABC内部取一点P，要满足得到的三角形PBC的面积是原三角形面积的

1

3

，根据几何关系求解出它们的比例即可．

解答：解：记事件A={△PBC的面积大于

S

3

}，
基本事件是三角形ABC的面积，（如图）
事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（D、E分别是三角形的边上的三等分点），
∵△ADE∽△ABC，且相似比为

2

3

，
∴

S△ADE

S△ABC

=

4

9

，
∴阴影部分的面积是整个三角形面积的

4

9

，
∴P（A）=

阴影部分的面积

三角形ABC的面积

=

4

9

，
∴△PBC的面积小于

S

3

的概率是1-P（A）=1-

4

9

=

5

9

．
故答案为：

5

9

．

点评：本题考查了几何概型，解答此题的关键在于明确测度比是面积比．对于几何概型常见的测度是长度之比，面积之比，体积之比，角度之比，要根据题意合理的判断和选择是哪一种测度进行求解．属于中档题．