Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的最值；

（2）求函数的单调区间；

（3）试说明是否存在实数使的图象与无公共点.

Answer 1

【答案】(1)最小值为 ；(2)见解析；(3)见解析.

【解析】

（1）利用导数研究函数单调性，再根据单调性确定函数最值，（2）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，最后根据导函数符号确定单调性，（3）先求函数最小值，再利用导数求最小值的最大值，最后与比较大小即得结果.

（1）函数的定义域是.

当时，，所以在为减函数，

在为增函数，所以函数的最小值为.

（2），

若时，则，在恒成立，所以的增区间为.

若，则，故当，，

当时，，

所以时的减区间为，的增区间为.

（3）时，由（2）知在的最小值为，

令，

则，所以在上单调递减，

所以，则，

因此存在实数使的最小值大于，

故存在实数使的图象与无公共点.