Question

已知数列{a_n}中，a₁=,a₂=并且数列log₂(a₂-),log₂(a₃-),…,log₂

(a_n+1-)是公差为-1的等差数列，而a₂-,a₃-,…,a_n+1-是公比为的等比数列，求数列{a_n}的通项公式.

Answer 1

剖析:由数列{log₂(a_n+1-)}为等差数列及等差数列的通项公式，可求出a_n+1与a_n的一个递推关系式①;由数列{a_n+1-}为等比数列及等比数列的通项公式，可求出a_n+1与a_n的另一个递推关系式②.解两个关系式组成的方程组，即可求出a_n.

解:∵数列{log₂(a_n+1-)}是公差为-1的等差数列，

    ∴log₂(a_n+1-)=log₂(a₂-a₁)+(n-1)(-1)=log₂(-×)-n+1=-(n+1)，

于是有a_n+1-=2^-(n+1).                                         ①

    又∵数列{a_n+1-a_n}是公比为的等比数列,∴a_n+1-a_n=(a₂-a₁)·3^-(n-1)

    =(-×)·3^-(n-1)=3^-(n+1).

    于是有a_n+1-a_n=3^-(n+1).                                    ②

    由①-②可得a_n=2^-(n+1)-3^-(n+1),

    ∴a_n=-.