Question

如图，直四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD的高为3，底面是边长为4，且∠DAB=60°的菱形，O是AC与BD的交点，O₁是A₁C₁与B₁D₁的交点．
（I） 求二面角O₁-BC-D的大小；
（II） 求点A到平面O₁BC的距离．

Answer 1

分析：本题一个求二面角与点到面距离的题，
（I）求二面角的方法有二，一是用立体几何法，作出它的平面角，求之，二是利用向量求二面角，需要建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，利用数量积公式求出二面角的余弦，再求角．
（II）求点到面的距离也有二种方法，一种是几何法，作出点到面的垂线段，用解三角形的方法求之．
二是用向量法，找出平面上一点与此点相连的线段所对应的向量，求出其在平面法向量上的投影的绝对值即可得到点到面的距离．

解答：（本小题满分12分）
解：方法一：（I）过点O作OF⊥BC交BC于F，连接O₁F．
∵OO₁⊥平面ABCD，
∴BC⊥O₁F．
∴∠O₁FO是二面角O₁-BC-D的平面角…（3分）
由已知得：OB=2，∠OBF=60°．
∴OF=OB×sin∠OBF=

3

．
在Rt△O₁OF中，tan∠O1FO=

OO1

OF

=

3

，
∴∠O₁FO=60°．
即二面角O₁-BC-D的大小等于60°．…（6分）
（II）设点A到平面O₁BC的距离等于h，
∵在Rt△O1OF中，O1F=2

3

，
∴S△O1BC=

1

2

•BC•O1F=4

3

．
又∵S△ABC=

1

2

•AC•OB=4

3

，
且VO1-ABC=VA-O1BC…（10分）∴h=OO₁=3
即点A到平面O₁BC的距离等于3．…（12分）
方法二：（I）由题意建立如图所示的空间直角坐标系．
∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，∴OA=2

3

，OB=2．
则A(2

3

，0，0)，B(0，2，0)，C(-2

3

，0，0)，O1(0，0，3)
…（2分）∴

O1B

=(0，2，-3)，

O1C

=(-2

3

，0，-3)．
设平面O₁BC的法向量为

n

=(x，y，z)，由

n1

⊥

O1B

，

n1

⊥

O1C

得：

2y-3z=0 -2 3 x-3z=0.

令z=2，则x=-

3

，y=3．∴

n1

=(-

3

，3，2)．
又平面ABCD的一个法向量为

n2

=(0，0，1)，…（4分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2

4

=

1

2

．
由已知得二面角O₁-BC-D是锐角，故二面角O₁-BC-D的大小等于60°．…（6分）
（II）设点A到平面O₁BC的距离等于d，
由（I）知平面O₁BC的一个法向量为

n1

=(-

3

，3，2)．
又∵

O1A

=(2

3

，0，-3)，则d=

| O1A • n1 |

| n1 |

=

|(2 3 ，0，3)•(- 3 ，3，2)|

(- 3 )2+32+22

=3．
∴点A到平面O₁BC的距离等于3．…（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，点到平面的距离，其中建立空间坐标系，然后将空间直线与平面、平面与平面位置关系转化为向量之间的关系，是解答本题的关键．本题运算量较大，解题时要严谨，用向量解决立体几何问题是近几年高考的热点，本题中的类型近几年出现的频率较高