Question

设0＜a＜1，函数f(x)=log_a,g(x)=1+log_a(x-1),设f(x)和g(x)的定义域的公共部分为D，当［m,n］D时，f(x)在［m,n］(m＜n)上的值域是［g(n),g(m)］，求a的取值范围.

Answer 1

解：由＞0，得x＞3或x＜-3.

    由x-1＞0，得x＞1.故D=(3,+∞).

    又f(x)=log_a=log_a(1-),

    令t=1-,则t在x∈(3,+∞)上是增函数.

    所以当0＜a＜1时，f(x)在x∈(3,+∞)上是减函数.

    所以

    所以m、n是方程f(x)=g(x)的两个不等实根.

    所以=a(x-1)，即ax²+(2a-1)x-3a+3=0有两个大于3的不等实根.

    令P(x)=ax²+(2a-1)x-3a+3,

    所以

    解得a∈(0,).