Question

已知函数
（1）当时，求函数的单调区间;
（2）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间。设，试问函数在上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为，减区间为；（2）不存在保值区间.

试题分析：本题主要考查函数与导数以及运用导数求单调区间、极值等数学知识和方法，考查思维能力、运算能力、分析问题解决问题的能力，考查转化思想和分类讨论思想.第一问，先对求导，令，可以看出的单调区间是由0和1断开的，现在所求的范围是，所以将从0断开，分和两部分进行讨论，分别判断的正负来决定的单调性；第二问，用反证法证明，先假设存在保值区间，先求出，再求导，因为，所以可以求出最值，即方程有两个大于1的相异实根，下面证明函数有2个零点，通过2次求导，判断单调性和极值确定只有一个零点，所以与有2个大于1的实根矛盾，所以假设不成立，所以不存在保值区间.
试题解析：（1）当时，，此时的单调增区间为；
当时，，此时的单调增区间为，减区间为       4分
（2）函数在上不存在保值区间。     5分
证明如下：
假设函数存在保值区间[a,b]. ,
因时，所以为增函数，     所以
即方程有两个大于1的相异实根。           7分
设，
因，，所以在上单增，又，
即存在唯一的使得                        9分
当时，为减函数，当时，为增函数，
所以函数在处取得极小值。又因，
所以在区间上只有一个零点，             11分
这与方程有两个大于1的相异实根矛盾。
所以假设不成立，即函数在上不存在保值区间。   12分