Question

【题目】设函数．

（1）求的单调区间；

（2）若为整数, 且当时,, 求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）若，增区间为，若，减区间为,增区间为；（2）．

【解析】试题分析：（1）利用导数工具，结合分类讨论思想对进行分类讨论；（2）由,代入原不等式后可将原命题转化为：当时,，令, 从而原命题可转化为 ,然后利用导数工具求．

试题解析：（1）函数的定义域是,若,则,

所以函数在上单调递增．若, 则当时,; 当时,; 所以,在单调递减,

在单调递增．

（2）由于,所以,故当时,等价于① 令,

则,由（1）知,当时, 函数在

上单调递增, 而在上存在唯一的零点, 故

在上存在唯一的零点, 设此零点为,则有,当时,;

当时,; 所以在上的最小值为,又由,可得

,由于 ①式等价于,故整数的最大值为．