Question

已知点A（3，3），O 为坐标原点，点P（x，y）坐标x，y满足

y＞0 x-y+2＞0 2x-y＜0

则向量

OP

在向量

OA

方向上的投影的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据约束条件画出可行域，利用向量的数量积将投影|

OP

|•cos∠AOP，转化为

OP • OA

| OA |

，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，即可得到|

OP

|•cos∠AOP的最值．

解答：解：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域（如图），
由于|

OP

|•cos∠AOP=

OP • OA

| OA |

，而

OA

=（3，3），

OP

=（x，y），OA的长度为3

2

∴|

OP

|•cos∠AOP=

3x+3y

3 2

=

2

2

(x+y)，
令z=x+y，即z表示直线y=-x+z在y轴上的截距，
由图形可知，当直线经过可行域中的点A时，z取到最小值，
由A（-2，0），这时z=-2，
∴|

OP

|•cos∠AOP的最小值为-

2

，
由

x-y+2=0 2x-y=0

，可得B（2，4）），这时z=6，
∴|

OP

|•cos∠AOP的最大值3

2

．
∴向量

OP

在向量

OA

方向上的投影的取值范围是(-

2

，3

2

)．
故答案为：(-

2

，3

2

)．

点评：本题主要考查了向量的数量积、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．