Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+bx在x=1处取得极值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若（m+3）x﹣x2ex+2x2≤f（x）对于任意的x∈（0，+∞）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=ax3+bx在x=1处取得极值2，

∴ ，解得 ，

∴f（x）=﹣x3+3x

（2）解：∵（m+3）x﹣x2ex+2x2≤f（x）对于任意的x∈（0，+∞）成立，

∴（m+3）x﹣x2ex+2x2≤﹣x3+3x

m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈（0，+∞）成立

设h（x）=xex﹣x2﹣2x，

则h′（x）=ex+xex﹣2x﹣2=（x+1）（ex﹣2），

令h′（x）=0解得x=ln2，

且当0＜x＜ln2时，h′（x）＜0；

当x＞ln2时，h′（x）＞0，

∴h（x）=xex﹣x2﹣2x在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，

∴ ，

∴m≤﹣（ln2）2．

【解析】（1）根据极值的定义得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，从而求出f（x）的表达式；（2）问题等价于m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈（0，+∞）成立，设h（x）=xex﹣x2﹣2x，根据函数的单调性求出m的范围即可．
【考点精析】利用基本求导法则和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．