Question

已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为

3

5

，焦点坐标分别为F₁（-2，0），F₂（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知A（-3，0），B（3，0），P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，求

OM

•

ON

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，利用椭圆C的长轴长与短轴长之比为

3

5

，焦点坐标分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），确定几何量之间的关系，从而可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），可得直线方程，令x=0，从而可求M，N的坐标，根据P点在椭圆上，即可求得

OM

•

ON

的值．

解答：解：（Ⅰ） 设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1．
∵

a

b

=

3

5

，c=2，a²=b²+c²
∴a²=9，b²=5…（4分）
所以椭圆C的标准方程为

x2

9

+

y2

5

=1．…（5分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），直线PA：y=

y0

x0+3

(x+3)，PB：y=

y0

x0-3

(x-3)…（7分）
令x=0，得：M(0，

3y0

x0+3

)，N(0，

-3y0

x0+3

)…（9分）
∵P点在椭圆上，∴

x02

9

+

y02

5

=1
所以：

OM

•

ON

=

-9y02

x02-9

=

5(x02-9)

x02-9

=5，…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，求椭圆的标准方程，利用待定系数法是我们常用的方法．