Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长是2 ，D 是棱BC 的中点，点M 在棱BB₁上，且BM=B₁M，又CM⊥AC₁。

（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-ADC₁体积。

Answer 1

解：（I）证明：连接A₁C，交AC₁于点E，连接DE，
则DE是△A₁BC的中位线，
∴DE∥A₁B，
又DE?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
∴A₁B平面∥AC₁D；
（II）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是棱BC的中点，
则AD⊥平面BCC₁B₁，
∴AD⊥MC，
∵CM⊥AC₁，AC₁∩AD=A
∴CM⊥平面AC₁
∴CM⊥C₁D，
∴∠CDC₁与∠MCB互余
∴tan∠CDC₁与tan∠MCB互为倒数
∵BM=B₁M，底面边长是2
∴AA₁=2
连接B₁D，
则S_△B1C1D=2
∵AD⊥平面DC₁B₁，AD=
∴三棱锥B₁-ADC₁体积等于三棱锥A-B₁DC₁体积=×2×=