Question

在△ABC中，已知B(－3，0)，C(3，0)，AD⊥BC于D，△ABC的垂心H分有向线段所成的比为．

(1)求点H的轨迹方程；

(2)设P(－1，0)，Q(1，0)那么，，能成等差数列吗？为什么？

Answer 1

答案：
解析：

思路　　A点的运动引起H点的运动，可设A(x0，y0)，H(x，y)，由条件寻找它们之间的关系．由垂心条件可建立等量关系，从而获得H点的轨迹方程． 　　解答　　(1)设H点的坐标为(x，y)、A点的坐标为(x0，y0)，则D(x0，O)，由H分所成的比为 　　∴x＝x0且y＝y0 　　又∵BH⊥AC 　　∴kBH·kAC＝－1．即·＝－1 　　化简得，＋＝1(y≠0)即为所求的轨迹方程． 　　(2)由(1)知P、Q分别为椭圆的左右焦点，设H(x，y)，并假设，，能成等差数列，则＝＋ 　　∵|HP|＝3＋x，|HQ|＝3－x，|PQ|＝2 　　∴＝＋化简得x2＝27 　　∴＝1－＝1－3＜0矛盾． 　　∴··不能成等差数列． 　　评析　　本小题充分利用了三角形垂心这一已知条件由AD⊥BC得A、D横坐标相同．由BH⊥AC建立等量关系同时注意轨迹的纯粹性与完备性．