Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn ， 且an= （n∈N*）． （Ⅰ）若数列{an+t}是等比数列，求t的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）记bn= + ，求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，由a1= （n∈N*），得a1=1．

当n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2an﹣n﹣2an﹣1+（n﹣1），

即an=2an﹣1+1，∴a2=3，a3=7，．

依题意，得（3+t）2=（1+t）（7+t），解得t=1，

当t=1时，an+1=2（an﹣1+1），n≥2，

即数列{an+1}是等比数列，故实数t的值为1．

（Ⅱ）由（Ⅰ），知当n≥2时，an+1=2（an﹣1+1），

又因为a1+1=2，

所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．

所以 ，

∴a （n∈N+）．

（Ⅲ）由（Ⅱ），知bn= + = = ，

则Tn= =1﹣

【解析】（Ⅰ）易得an=2an﹣1+1，∴a2=3，a3=7，依题意，得（3+t）2=（1+t）（7+t），解得t=1， （Ⅱ）由（Ⅰ），知当n≥2时，an+1=2（an﹣1+1），即数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，得 ，即可求通项．（Ⅲ）由（Ⅱ），知bn= + = = ，累加即可求和．
【考点精析】通过灵活运用等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和，掌握通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．