Question

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，短轴长与焦距相等，直线x+y-1=0与E相交于A，B两点，与x轴相交于C点，且

AC

=3

CB

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）如果椭圆E上存在两点M，N关于直线l：y=4x+m对称，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据短轴与焦距相等得到b与c相等，且a等于

2

b，则b²=c²，a²=2c²设出椭圆的标准方程，设出已知直线与E的交点A与B的坐标，然后把直线方程代入到设出的椭圆方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到两个之和和两根之积的关系式，同时利用求出C的坐标，和设出的A和B的坐标，由

AC

=3

CB

得到A与B横坐标之间的关系式，三者联立即可求出A与B的横坐标及c的值，把c的值代入所设的椭圆方程即可得到椭圆E的方程；
（Ⅱ）设出椭圆E上两点M与N的坐标，把设出的两点坐标分别代入到（Ⅰ）求出的椭圆方程得到两个关系式并设出MN的中点坐标，把两个关系式相减并利用中点坐标公式化简即可得到MN中点横纵坐标之间的关系式，然后根据M与N关于直线l对称得到MN的中点在直线l上，把MN的中点坐标代入直线l的方程又得到中点横纵坐标之间的关系式，两个关系式联立即可求出横纵坐标关于m的中点坐标，然后根据中点在椭圆内部，所以把中点坐标代入椭圆方程后其值小于1，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设所求的椭圆E的方程为

x2

2c2

+

y2

c2

=1（c＞0），
A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），将y=1-x代入椭圆得3x²-4x+2-2c²=0，
∵

AC

=3

CB

，又C（1，0），
∴

x1+3x2

4

=1，
∴

x1+3x2 4 =1 x1+x2= 4 3 x1•x2= 2-2c2 3

?

x1=0 x2= 4 3 c=1

，
∴所求的椭圆E的方程为

x2

2

+y2=1；

（Ⅱ）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则

x 2 1

2

+

y

2 1

=1，

x 2 2

2

+

y

2 2

=1，
又设MN的中点为（x₀，y₀），则以上两式相减得：-

1

2

x0

y0

=-

1

4

，

y0=2x0 y0=4x0+m

?

x0=- m 2 y0=-m

，
又点（x₀，y₀）在椭圆内，∴

x 2 0

2

+

y

2 0

＜1，
即

1

2

×

m2

4

+m2＜1，化简得：9m²-8＜0，
因式分解得：（3m+2

2

）（3m-2

2

）＜0，
解得：-

2 2

3

＜m＜

2 2

3

．

点评：此题考查学生会求直线与曲线的交点坐标，掌握椭圆的简单性质，会利用待定系数法求椭圆的标准方程，掌握一点在椭圆的内部所满足的条件，灵活运用中点坐标公式及对称知识解决实际问题，是一道综合题．