Question

（2012•徐汇区一模）由9个正数组成的矩阵

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

中，每行中的三个数成等差数列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列，给出下列判断：①第2列a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比数列；②第1列a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比数列；③a₁₂+a₃₂≥a₂₁+a₂₃；④若9个数之和等于9，则a₂₂≥1．其中正确的个数有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：先由题意设列出由9个正数组成的矩阵是：

a a+d   a+2d b b+m  b+2m c c+n   c+2n

由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列，则有：（b+m）²=（a+d）（c+n），得出①正确；再由（a+d）+（c+n）≥2

(a+d)(c+n)

=2（b+m），得到③正确；
再题意设列举出由9个正数组成的特殊矩阵判断②④错即可．

解答：解：由题意设由9个正数组成的矩阵是：

a a+d   a+2d b b+m  b+2m c c+n   c+2n

由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列
则有：（b+m）²=（a+d）（c+n），故①正确；
（a+d）+（c+n）≥2

(a+d)(c+n)

=2（b+m），故③正确；
再题意设由9个正数组成的矩阵是：

1 2 1    3 2 1 1      1 1 2 1      3 2

，故②错；
再题意设由若9个数之和等于9组成的矩阵是：

1 4 1 2    3 4 1 4 1 2    3 4 1 3 5 3     3

，故④错；
其中正确的序号有①③．
故选B．

点评：本题以三阶矩阵为载体，主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、三阶矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．