Question

若 0≤x≤2π，

1+2sin2x

=sinx+cosx，则x的取值范围是（　　）

• A、[0，π]
• B、[

  π

  4

  ，

  5π

  4

  ]
• C、[

  π

  2

  ，

  3π

  4

  ]∪[

  5π

  4

  ，2π]
• D、[0，

  3π

  4

  ]∪[

  7π

  4

  ，2π]

Answer 1

分析：已知等式左边被开方数利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，再利用完全平方公式及二次根式的性质化简，得到sinx+cosx≥0，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的性质确定出x的范围即可．

解答：解：∵

1+2sin2x

=

sin2x+2sinxcosx+cos2x

=

(sinx+cosx)2

=|sinx+cosx|=sinx+cosx，
∴sinx+cosx≥0，
即

2

sin（x+

π

4

）≥0，
∵0≤x≤2π，
∴

π

4

≤x+

π

4

≤

9π

4

，
∴

π

4

≤x+

π

4

≤π或2π≤x+

π

4

≤

9π

4

，
解得：0≤x≤

3π

4

或

7π

4

≤x≤2π，
则x的取值范围为[0，

3π

4

]∪[

7π

4

，2π]．
故选D

点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的应用，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握基本关系是解本题的关键．