Question

【题目】甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为（），其中，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是，如果某位同学有机会答第道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题

（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由

（2）①求第二轮答题中，；

②求证为等比数列，并求（）的表达式.

Answer 1

【答案】（1）第二轮最先开始答题的是甲；详见解析（2）①，②证明见解析；（）

【解析】

(1)设甲选出的3道题答对的道数为,则,设甲第一轮答题的总得分为,则,,设乙第一轮得分为,求出的分布列,得到,比较两者大小即可得出结论;

(2)①依题意得,,再利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出;②,从而,,由此能证明是等比数列,并求出的表达式.

(1)设甲选出的3道题答对的道数为,则,

设甲第一轮答题的总得分为,则,

所以;

(或法二:设甲的第一轮答题的总得分为,则的所有可能取值为30,15,0,-15,

且,

,

,

,

故得分为的分布列为:

	30	15	0	-15

;)

设乙的第一轮得分为,则的所有可能取值为30,15,0,

则,,,

故的分布列为:

	30	15	0

故,

∵,所以第二轮最先开始答题的是甲.

(2)①依题意知,,,

②依题意有(),

∴,(),

又,

所以是以为首项,为公比的等比数列,

∴,

∴().