Question

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积成反比.现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）？________________.

Answer 1

解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=,其中k＞0为比例系数,依题意,即所求的a、b值使y值最小.根据题设,有4b+2ab+2a=60（a＞0,b＞0）得b=（0＜a＜30）,于是y==.

∵y′==0时,a=6或a=-10（舍去）由于本题只有一个极值点,故当a=6此时b=3时为所求,即当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

解法二：依题意,即所求的a、b值使ab最大.由题设知4b+2ab+2a=60,（a＞0,b＞0）,即a+2b+ab=30（a＞0,b＞0）.∵a+2b≥2,∴2·+ab≤30.当且仅当a=2b时上式取等号.由a＞0,b＞0,解得?0＜ab≤18?.即当a=2b时,ab取得最大值,其最大为18,由2b²=18解得b=3,此时a=6.故当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

答案：a=6米,b=3米