Question

（本题共16分）

已知四棱锥P－ABCD的体积为,PC底面ABCD, ABC　　  

和ACD都是边长为1的等边三角形,点E分侧棱PA所成的

比 ．

(1)当为何值时,能使平面BDE平面ABCD?并给出证明；

(2)当平面BDE平面ABCD时,求P点到平面BDE的距离；

(3)当=1时,求二面角A－BE－D的大小．

Answer 1

解：（1）依题设，底面ABCD为菱形，设ACBD＝O，连结

OE，则OE⊥BD．若平面BDE⊥平面ABCD，则OE⊥平面ABCD，

∵CP⊥平面ABCD，∴OE‖CP．

∵O为AC中点，∴E为PA中点，且．

（2）由（1）知，OE⊥平面ABCD，CP‖OE，CP‖平面BDE，

故P到平面BDE的距离即为C到平面BDE的距离，易证CO⊥

平面BDE，∴CO即为C到平面BDE的距离，

而CO＝AC＝，∴点P到平面BDE的距离为．

说明　亦可化为求点A到平面BDE的距离．

（3）时，即有平面BDE⊥平面ABCD，交线为BD，∵AO⊥BD，AO平面ABCD，∴AO⊥平面BDE，过O作OQ⊥BE于Q，连结QA，则由三垂线定理知QA⊥BE，

∴∠AQO就是二面角A－BE－D的平面角．

在RtΔBOE中，∵OE＝PC＝，OB＝AB＝，∴BE＝，

故由得，．

在RtΔAOQ中，，即二面角A－BE－D的大小为