【题目】某高校在2019的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在
，随机抽取200名考生成绩作为样本研究，按照笔试成绩分成5组，第1组成绩为
，第2组成绩为
，第3组成绩为
，第4组成绩为
，第5组成绩为
，样本频率分布直方图如下：
（1）估计全体考生成绩的中位数；
（2）为了能选拨出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，从这6名学生中随机抽取2名学生进行外语交流面试，求这2名学生均来自同一组的概率．
【答案】（1）17250；（2）
．
【解析】
（1）由频率分布直方图中把频率（矩形面积）等分的点对应的成绩为中位数．
（2）由频率分布直方图中的频率求出从三组中各抽取的人数，并编号，用列举法写出任取2人的事件，并列出来自同一组的事件，计算个数后可求概率．
（1）样本中位数为
，从频率分布直方图可知
，
从而有
，解得
故全体考生成绩的中位数约为17250．
（2）记A为事件“这两名学生均来自同一组”，用分层抽样第3组抽取2人，第4组抽取3人，第5组抽取1人， 记第3组学生为
，第4组学生为
，第5组学生为
；
从这6人中抽取2人有15种方法，分别为：
其中事件A共有4种，为
由古典概型公式得
故这两名学生均来自同一组的概率为．
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【题目】给定整数
(
)，设集合
，记集合
．
（1）若
，求集合
；
（2）若
构成以
为首项，
(
)为公差的等差数列，求证：集合中的元素个数为
；
（3）若构成以
为首项，为公比的等比数列，求集合中元素的个数及所有元素之和．
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【题目】下列说法正确的是( )
A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍
B.设有一个回归方程
，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位
C.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞1）=0.5
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【题目】口袋中放有20个球，其中白球9个、红球5个、黑球6个，现从中任取10个球，使得白球不少于
个不多于7个，红球不少于2个不多于5个、黑球不多于3个的取法种数是（ ）
A. 14 B. 24
C. 13 D. 36
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【题目】已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆
的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如下表：
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
工业增加值 | 13.2 | 13.8 | 16.5 | 19.5 | 20.9 | 22.2 | 23.4 | 23.7 | 24.8 | 28 |
依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
|
|
|
|
|
5.5 | 20.6 | 82.5 | 211.52 | 129.6 |
（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值
（万亿元）与年份序号
的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数
，其拟合指数
；研究人员乙采用函数
，其拟合指数
；研究人员丙采用线性函数
，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.（注：相关系数
与拟合指数
满足关系
）.
（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；
（3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.
附：样本
的相关系数
，
，
，
.
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【题目】已知椭圆
的离心率为
，
分别为
的左、右顶点，
是上异于的动点，
面积的最大值为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线
与直线
的斜率乘积为定值；
（3）设直线，分别交直线
于
两点，以
为直径作圆，当圆的面积最小时，求该圆的方程.
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