Question

【题目】如图,在三棱锥中, 底面,. 、分别为和的中点. 为侧棱上的动点.

（Ⅰ）求证: 平面;

（Ⅱ）求证:平面平面;

（Ⅲ）试判断直线与平面是否能够垂直.若能垂直,求的值;若不能垂直,请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） .

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由题意结合几何关系可证得是平行四边形，则， 平面

（Ⅱ）由题意结合几何关系可证得， ，则平面，平面平面;

（Ⅲ）原命题成立，则仅需在平面内再找一条和相交的直线和即可.考查的情况,结合相似三角形的性质可得.

试题解析：

（Ⅰ）证明:∵是三棱柱，

∴三个侧面都是平行四边形, 且，

又∵、分别为和的中点，

∴且，

∴且，

∴是平行四边形，

∴，

∵平面, 平面，

∴平面.

（Ⅱ）证明:∵底面，

∴底面，

∴，

又∵,，

又∵是中点，

∴，

∵, 平面，

∴平面，

则平面平面;

（Ⅲ）直线与平面能够垂直,且，

由（Ⅱ）知平面，

∴，

若要使平面,仅需在平面内再找一条和相交的直线和即可.

此时我们取平面内和相交的直线，

若,则与相似，

∴，

∴.