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已知圆C:x2+y2+2x-4y+k=0(k<5);
(I)若k=1,圆C内有一点P(-2,3),经过P的直线l与圆C交于A、B两点,当弦AB恰被P平分时,求直线l的方程;
(II)若圆C与直线x+y+1=0交于P、Q两点,是否存在实数k,使OP⊥OQ(O为原点)?如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由.
【答案】分析:(I)因为弦AB被点P平分,先求出OP的斜率,然后根据垂径定理得到OP⊥AB,由垂直得到两条直线斜率乘积为-1,求出直线AB的斜率,然后写出直线的方程.
(II)设出P,Q的坐标,根据OP⊥OQ可推断出,把P,Q坐标代入求得关系式,把直线方程与圆的方程联立消去y,利用韦达定理表示出xp+xQ和xp•xQ,利用直线方程求得yp•yQ的表达式,最后联立方程求得m,利用判别式验证成立,答案可得.
解答:解:(1)∵P0为AB的中点,OA=OB=r,∴OP⊥AB
又k=1时,C(-1,2),∴=-2,∴kAB=1,∴直线AB的方程为x-y+5=0
(2)设点P(xp,yP),Q(xQ,yQ
当OP⊥OQ时,Kop•KOQ=-1⇒⇒xpxQ+ypyQ=0
又直线与圆相交于P、Q⇒⇒P、Q坐标是方程2y2-4y+k-1=0的两根有:yP+yQ=2,
从而有2yPyQ+yQ+yP=0,∴k=-2
且检验△>O成立,故存在k=-2,使OP⊥OQ
点评:考查学生会根据倾斜角求出直线的斜率,综合运用直线与圆方程的能力,会根据一个点和斜率写出直线的方程.
本题主要考查了圆的方程的综合运用.本题的最后对求得的结果进行验证是不可或缺的步骤,保证了结果的正确性.
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