Question

【题目】已知函数，.

（1）若对于任意实数，恒成立，求实数的范围；

（2）当时，是否存在实数，使曲线：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.

【解析】

（1）分类时，恒成立，时，分离参数为，引入新函数，利用导数求得函数最值即可；

（2），导出导函数，问题转化为在上有解．再用导数研究的性质可得．

解：（1）因为当时，恒成立，

所以，若，为任意实数，恒成立.

若，恒成立，

即当时，，

设，，

当时，，则在上单调递增，

当时，，则在上单调递减，

所以当时，取得最大值.

，

所以，要使时，恒成立，的取值范围为.

（2）由题意，曲线为：.

令，

所以，

设，则，

当时，，

故在上为增函数，因此在区间上的最小值，

所以，

当时，，，

所以，

曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程在上有实数解.

而，即方程无实数解.

故不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.