Question

一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、、在圆的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图4所示，其中，，，．

（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．

Answer 1

(1) 证明过程详见解析(2)

试题分析：
(1)要证明,只需要考虑证明AC垂直于BD所在的面,即面ABD,所以证明AC与AD,AB垂直即可,而AE与AD在同一条直线上且AE垂直于AC所在的一个面,根据线面垂直的性质,即可得到AC与AD垂直,而AC与AB垂直题目已给,所以能证明AC与面BCD垂直,进而证明AC与BD垂直.
(2)首先根据题目所给正视图与侧视图的面积,求出三角形AOE的面积,得到AO的长,再根据OA等腰直角三颗星ABC斜边的中线,即可求出等腰直角三颗星三条边的长度,进而得到三角形的面积,根据正视图的面积为三角形AOE与矩形的面积和得到AD的长,而所求三棱锥的体积可以分为三棱与两个部分,两部分都以三角形ABC为底面,分别以AE与AD为高,且都已知,进而可以求出三棱锥.
试题解析：
(1)证明:面(即面ABC)且面ABC
 
又且面ABD,
面ABD
面ABD

(2)因为正视图和侧视图的面积分别为11和12,所以,又因为AE=2,所以OA=1,,因为正视图的面积为11,所以,因为底面三角形ABC为等腰直角三角形且斜边的中线OA=1,所以,又因为面ABC且面ABC,所以
,综上.