Question

（本题共12分）
已知函数，其中且。
(Ⅰ)讨论的单调性；
(Ⅱ)求函数在〔，〕上的最小值和最大值。

Answer 1

(Ⅰ)函数在上单调递减，在上单调递增；
(Ⅱ) 当时，在上的最小值为，最大值为；
当时，在上的最小值为，最大值为

本试题主要考查了导数研究函数的最值问题的运用。
（1）因为函数，其中且，求解导数得到，然后对于参数a的范围结合对数值来分类讨论得到结论。
（2）在第一问的基础上，在单调递减，在在单调递增
当时，取得最小值
，进而作差比较大小，得到关于a的函数，结合导数求解得到。
解：(Ⅰ) ，∴ 。
① 当时，，由可得；由可得
在上单调递减，在上单调递增。
②当时，，由可得；由可得
在上单调递减，在上单调递增。
综上可得，函数在上单调递减，在上单调递增。………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在单调递减，在在单调递增
当时，取得最小值
……………………………………………………6分
 ，
设 ，则 。
∵（当且仅当时）∴在上单调递增．
又∵，
∴①当时，，即，
这时，在上的最大值为；
②当时，，即
这时，在上的最大值为。
综上，当时，在上的最小值为，最大值为；
当时，在上的最小值为，最大值为…………12分