Question

（01全国卷） (12分)

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S―ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，．

(Ⅰ)求四棱锥S―ABCD的体积；

    (Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

Answer 1

解析：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是

M_底面，                      ……2分

∴ 四棱锥S―ABCD的体积是

               M_底面

                                  

                                   ．                                           ……4分

（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE则SE是所求二面角的棱．     ……6分

∵ AD∥BC，BC = 2AD，

∴ EA = AB = SA，∴ SE⊥SB，

∵ SA⊥面ABCD，得SEB⊥面EBC，EB是交线，

又BC⊥EB，∴ BC⊥面SEB，

故SB是CS在面SEB上的射影，

∴ CS⊥SE，

所以∠BSC是所求二面角的平面角．                                ……10分

∵ ，BC =1，BC⊥SB，

∴ tan∠BSC ．

即所求二面角的正切值为．                                    ……12分