Question

在△ABC中，A、B、C为三角形的三个内角，且满足条件sin（C-A）=1，sinB=

1

3

．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若AC=

6

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用A=

π

4

-

B

2

可知sinA=sin(

π

4

-

B

2

)，利用两角和公式可得sinA=

2

2

(cos

B

2

-sin

B

2

)两边同时平方求得sinA．
（2）利用同角三角函数基本关系求得cosA，和cosB，进而利用两角和公式求得sinC，进而利用正弦定理求得BC，最后利用三角形面积公式求得答案．

解答：解：（Ⅰ）sin（C-A）=1，又-π＜C-A＜π，
∴C-A=

π

2

，
又A+B+C=π，
∴A=

π

4

-

B

2

，
∴sinA=sin(

π

4

-

B

2

)=

2

2

(cos

B

2

-sin

B

2

)，
∴sin2A=

1

2

(1-sinB)=

1

3

，
又sinA＞0，
∴sinA=

3

3

．
（Ⅱ）由C-A=

π

2

易知A、B都是锐角，
∴cosA=

6

3

，cosB=

2 2

3

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

3

×

2 2

3

+

6

3

×

1

3

=

6

3

，
由正弦定理可知

AC

sinB

=

BC

sinA

∴BC=

ACsinA

sinB

=

6 • 3 3

1 3

=3

2

，
∴S△ABC=

1

2

AC•BC•sinC=

1

2

×

6

×3

2

×

6

3

=3

2

．

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．涉及了正弦定理，三角形面积公式和两角和公式，综合性很强．