Question

已知在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是D₁D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=

1

4

CD．
（I）求证：EF⊥B₁C；
（Ⅱ）求EF与C₁G所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角F-EG-C₁的大小（用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：（I）利用三垂线定理或线面垂直的性质证明EF⊥B₁C；
（Ⅱ）根据异面直线所成角的定义，求EF与C₁G所成角的余弦值；
（Ⅲ）利用二面角的定义先确定二面角的平面角，然后求二面角的大小．

解答：解：（I）连结D₁B、BC₁
因为E、F分别是D₁D、BD的中点
所以EF∥D₁B，且EF=

1

2

D₁B，
又D₁C₁中⊥面B₁BCC₁，
所以D₁B在平面B₁BCC₁的射影为BC₁
因为BC₁⊥B₁C，
所以由三垂线定理知BC₁⊥D₁C，
所以EF⊥B₁C．
（II）延长CD到点P，使DP=CG，连结D₁P、PB
所以D₁C₁∥PG且D₁C₁=PG，
所以四边形D₁PGC₁为平行四边形，
所以D₁P∥C₁G，且D₁P=C₁G，
又由（I）知EF∥D₁B，
所以∠PD₁B为EF与C₁G所成角所成的角．
设正方体的棱长为4，则：D1P2=42+12=17，D1B2=42+42+42=48，PB²=4²+5²=41．
所以cos∠PD1B=

D1P2+D1B2-PB2

2D1P?D1B

=

51

17

．
（III）取DC中点M，连FM，则FM⊥面C₁EG
过M作MN⊥EG于N，连结FN
由三垂线定理，FN⊥EG
∴∠MNF的邻补角为二面角F-EG-C₁的平面角
设正方体棱长为4，则FM=2
△EDG∽△MNG，
所以MN=

MG?ED

EG

=

1×2

13

=

2 13

13

，
在直角三角形FMN中，tan∠MNF=

FM

MN

=

2

2 13 13

=

13

．，
所以∠MNF=arctan

13

，
所以二面角F-EG-C₁的大小为π-arctan

13

．

点评：本题主要考查空间线面垂直的性质以及空间异面直线和二面角大小的求法，要求根据空间角的定义和求法分别求出对应的空间角．