Question

已知抛物线y=ax²+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．

Answer 1

分析：依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x₁=0，x2=-

b

a

，所以S=

∫

- b a 0

(ax2+bx)dx=

1

6a2

•b3．由直线x+y=4与抛物线y=ax²+bx相切，知ax²+（b+1）x-4=0中△=（b+1）²+16a=0，由此能求出S达到最大值的a，b值及S的最大值．

解答：解：依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x₁=0，x2=-

b

a

，
所以S=

∫

- b a 0

(ax2+bx)dx=（

1

3

ax3+

1

2

bx2）

|

- b a 0

=

1

3

a•(-

b

a

)3+

1

2

b•(-

b

a

)2
=

1

6a2

•b3（1）…（4分）
又直线x+y=4与抛物线y=ax²+bx相切，
即它们有唯一的公共点
由方程组

x+y=4 y=ax2+bx

，
得ax²+（b+1）x-4=0，其判别式△必须为0，
即△=（b+1）²+16a=0，
于是a=-

1

16

(b+1)2，…（8分）
代入（1）式得：S(b)=

128b3

3(b+1)4

(b＞0)，
S′(b)=

128b2(3-b)

3(b+1)5

．
令S′（b）=0，在b＞0时，得b=3；
当0＜b＜3时，S′（b）＞0；
当b＞3时，S′（b）＜0．
故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，
即a=-1，b=3时，S取得最大值，且Smax=

9

2

．…（12分）

点评：本题考查抛物线和直线的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意定积分的合理运用．