Question

已知数列{a_n}，{b_n}中，a₁=b₁=1，且当n≥2时，a_n-na_n-1=0，．记n的阶乘n（n-1）（n-2）…3•2•1≈n!
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列为等差数列；
（3）若，求{c_n}的前n项和．

Answer 1

（1）解：∵a_n-na_n-1=0（n≥2），a₁=1，
∴a_n=na_n-1=n（n-1）a_n-2=n（n-1）（n-2）a_n-3=…
=n（n-1）（n-2）…3•2•1=n!
又a₁=1=1!，∴a_n=n!
（2）证明：由，两边同时除以2ⁿ得：
，即．
∴数列{}是以为首项，公差为的等差数列，
则，故．
（3）解：因为，
．
记A_n=
=
=．
记{}的前n项和为B_n．
则 ①
∴ ②
由②-①得：
=．
∴S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=．
所以数列{c_n}的前n项和为．
分析：（1）把递推式a_n-na_n-1=0变形后进行循环，可以得到a_n=n（n-1）（n-2）…3•2•1=n!，验证a₁成立，则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）把给出的递推式两边同时除以2ⁿ，移向整理即可证得数列为等差数列；
（3）把数列{a_n}的通项代入，把数列{b_n}的通项代入，利用裂项相消和错位相减法分别求出数列{}和{}的和后直接作和即可．
点评：本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列和等比数列通项公式的求法，考查了利用裂项相消和错位相减法求数列的前n项和，是中档题．