Question

12．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A，B两点．
（1）若点E的坐标为$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0}）$，点A在第一象限且横坐标为$\sqrt{3}$，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积；
（2）是否存在点E，使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意求出A的坐标，写出直线EA的方程，联立直线方程和椭圆方程求得B的坐标，再结合已知条件求出PA的长度及PA所在直线方程，由点到直线的距离公式求出B到直线PA的距离，代入三角形面积公式得答案；
（2）假设存在点E，使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$为定值，设E（x₀，0），求出当直线AB与x轴重合时，直线AB与x轴垂直时的$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$的值，列等式求出x₀，然后验证当E为
（$\sqrt{3}，0$）时，对任意经过E点到直线AB都有$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$为定值即可．

解答 解：（1）将$x=\sqrt{3}$代入$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，解得y=±1，
∵点A在第一象限，从而得A（$\sqrt{3}，1$），
由点E的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}，0$），∴${k}_{AE}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，直线EA的方程为y=$\frac{2}{\sqrt{3}}（x-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
联立直线EA与椭圆C的方程，解得B（$-\frac{\sqrt{3}}{5}，-\frac{7}{5}$），
又PA过原点O，于是P（-$\sqrt{3}$，-1），PA=4，
∴直线PA的方程为$x-\sqrt{3}y=0$．
∴点B到直线PA的距离h=$\frac{|-\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{7\sqrt{3}}{5}|}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
则${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}•4•\frac{3\sqrt{3}}{5}=\frac{6\sqrt{3}}{5}$；
（2）假设存在点E，使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$为定值，设E（x₀，0），
当直线AB与x轴重合时，有
$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$=$\frac{1}{（{x}_{0}+\sqrt{6}）^{2}}+\frac{1}{（\sqrt{6}-{x}_{0}）^{2}}$=$\frac{12+2{{x}_{0}}^{2}}{（6-{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$．
当直线AB与x轴垂直时，$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$=$\frac{2}{2（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{6}）}=\frac{6}{6-{{x}_{0}}^{2}}$，
由$\frac{12+2{{x}_{0}}^{2}}{（6-{{x}_{0}}^{2}）^{2}}=\frac{6}{6-{{x}_{0}}^{2}}$，解得${x}_{0}=±\sqrt{3}$，$\frac{6}{6-{{x}_{0}}^{2}}=2$，
∴若存在点E，此时E（$±\sqrt{3}$，0），$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$为定值2．
根据对称性，只需考虑直线AB过点E（$\sqrt{3}，0$），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又设直线AB的方程为x=my+$\sqrt{3}$，与椭圆C联立方程组，
化简得$（{m}^{2}+3）{y}^{2}+2\sqrt{3}my-3=0$，
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+3}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-3}{{m}^{2}+3}$，
又$\frac{1}{E{A}^{2}}=\frac{1}{（{x}_{1}-\sqrt{3}）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}=\frac{1}{{m}^{2}{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{{y}_{1}}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$=$\frac{1}{（{m}^{2}+1）{{y}_{1}}^{2}}+\frac{1}{（{m}^{2}+1）{{y}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}}{（{m}^{2}+1）{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}$，
将上述关系代入，化简可得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$=2．
综上所述，存在点E（$±\sqrt{3}，0$），使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$为定值2．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，对于（2）的求解，给出了判断存在性问题的一种方法，即利用特殊位置，求出满足条件的点，然后验证适用于普遍性的结论，是压轴题．