Question

（2手11•浙江）设F₁，F₂分别为椭圆

x2

3

+y²=1的焦点，点A，B在椭圆上，若

F1A

=5

F2B

；则点A的坐标是______．

Answer 1

方法1：直线右₁A的反向延长线与椭圆交于点B'
又∵

右1A

=5

右hB

由椭圆的对称性，得

右1A

=5

B′右1

设A（x₁，y₁），B'（x_h，y_h）
由于椭圆

xh

3

+yh=1的a=

3

，b=1，c=

h

∴e=

c

a

=

h

3

=

6

3

，右₁（

h

，6）．
∵|右1A|=

6

3

|x1+

3 h

h

|
|右1B′|=

6

3

|xh+

3 h

h

|
从而有：

6 3 |x1+ 3 h h |=5× 6 3 |xh+ 3 h h |

由于-

3

≤x₁，x_h≤

3

，
∴x1+

3 h

h

＞6，xh+

3 h

h

＞6，
即

6

3

(

3 h

h

+x1)=5×

6

3

(xh+

3 h

h

)

3 h

h

+x1=5(xh+

3 h

h

)． ①
又∵三点A，右₁，B′共线，

右1A

=5

B′右1

∴（x1-(-

h

)，y₁-6）=5（-

h

-x_h，6-y_h）
∴

x1+ h =5(- h -xh)

．②
由①+②得：x₁=6．
代入椭圆的方程得：y₁=±1，
∴点A的坐标为（6，1）或（6，-1）
&4bsp;方法h：因为右₁，右_h分别为椭圆

xh

3

+yh=1的焦点，则右1(-

h

，6)，右h(

h

，6)，设A，B的坐标分别为A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
若

右1A

=5

右hB

；则

xA+ h =5(xB- h ) yA=5yB

，所以

xB= xA+6 h 5 yB= yA 5

，
因为A，B在椭圆上，所以

xAh 3 +yAh=1 xBh 3 +yBh=1

，代入解得

xA=6 yA=1

或

xA=6 yA=-1

，
故A（6，±1）．
故答案为：（6，±1）．