Question

【题目】如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点.

(1)求证：AE//平面PDC；

(2)若BC＝CD＝PD，求直线AC与平面PBC所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．

（2）推导出，由，得，再推导出，，从而平面，，，，进而平面，连结，，则就是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的余弦值．

解：（1）证明：取的中点，连结、，

是的中点，，且，

，，，且，

四边形是平行四边形，，

又平面，平面．

（2）解：，是等腰三角形，

，又，，

平面，平面，

，又，平面，

平面，，，

又，平面，

连结，，则就是直线与平面所成角，

设，

在中，解得，，，

在中，解得，

在中，，

直线与平面所成角的余弦值为．