Question

（本小题满分12分）
已知函数
（I）当时,求函数的图象在点A（0，)处的切线方程；
（II）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数，使当时恒成立？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解（I）．   
（II）在，为增函数，在为减函数。
（Ⅲ）符合条件的实数不存在.  

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）运用了导数的几何意义求解曲线的切线方程问题。
（2）利用导数的运算，和导数与不等式的关系，求解得到函数的单调区间。
（3）对于不等式的恒成立问题可以转化为求解新函数的最值问题，来得到参数的取值范围的求解的这样的数学思想的运用。
解（I）时,,

于是,,
所以函数的图象在点处的切线方程为
即．              ………………………… ……………… 2分
（II）
=，
∵，∴ 只需讨论的符号．        ……………… 4分
ⅰ）当＞2时，＞0，这时＞0，所以函数在（－∞，+∞）上为增函数．
ⅱ）当= 2时，≥0，函数在（－∞，+∞）上为增函数．
……………… 6分
ⅲ）当0＜＜2时，令= 0，解得，．
当变化时，和的变化情况如下表：

	+	0	－	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴在，为增函数，在为
减函数……………… 8分
（Ⅲ）当∈（1，2）时，∈（0，1）．由（2）知在上是减函数，在上是增函数，故当∈（0，1）时，，所以当∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立．……10分
当∈（1，2）时，，设，则，表明g(t) 在（0，1）上单调递减，于是可得，即∈（1，2）时恒成立，因此，符合条件的实数不存在.    ……………… 12分