Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l₁过定点A （1，0）．
（1）若l₁与圆C相切，求l₁的方程；
（2）若l₁的倾斜角为

π

4

，l₁与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
（3）若l₁与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l₁的直线方程．

Answer 1

分析：（1）通过直线l₁的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，判断直线是否存在，求出k，即可求l₁的方程；
（2）l₁的倾斜角为

π

4

，直接求出l₁的方程，利用直线l₁与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标，直接转化为过圆心与直线l₁垂直的中垂线方程，解两条直线方程的交点即可；
（3）l₁与圆C相交于P，Q两点，直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx-y-k=0，求出圆心到直线的距离，弦长，得到三角形CPQ的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，得到l₁的直线方程．

解答：解：（1）解：①若直线l₁的斜率不存在，则直线x=1，圆的圆心坐标（3，4），半径为2，符合题意．
②若直线l₁斜率存在，设直线l₁为y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l₁的距离等于半径2，即：

|3k-4-k|

k2+1

=2，
解之得  k=

3

4

．所求直线方程是：x=1，或3x-4y-3=0．
（2）直线l₁方程为y=x-1．∵PQ⊥CM，∴CM方程为y-4=-（x-3），即x+y-7=0．
∵

y=x-1 x+y-7=0

∴

x=4 y=3.

∴M点坐标（4，3）．
（3）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx-y-k=0，
则圆心到直l1的距离d=

|2k-4|

1+k2

．
又∵三角形CPQ面积

S= 1 2 d×2 4-d2 =d 4-d2 = 4d2-d4 = -(d2-2)2+4 ，

∴当d=

2

时，S取得最大值2．∴d=

|2k-4|

1+k2

=

2

，k=1或k=7．
∴直线方程为y=x-1，或y=7x-7．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切，相交，直线的交点，弦的中点，三角形的面积的最值直线方程等有关知识，考查计算能力，转化思想，注意直线的斜率不存在的情况，容易疏忽，是易错点．