Question

如图,四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A₁O⊥底面ABCD,AB=AA₁=.

(1)证明:平面A₁BD∥平面CD₁B₁;
(2)求三棱柱ABDA₁B₁D₁的体积.

Answer 1

(1)见解析   (2)1

解析(1)证明:由题设知,BB₁DD₁,
∴BB₁D₁D是平行四边形,
∴BD∥B₁D₁.
又BD平面CD₁B₁,
∴BD∥平面CD₁B₁.
∵A₁D₁B₁C₁BC,
∴A₁BCD₁是平行四边形,
∴A₁B∥D₁C.
又A₁B平面CD₁B₁,
∴A₁B∥平面CD₁B₁.
又∵BD∩A₁B=B,
∴平面A₁BD∥平面CD₁B₁.
(2)解:∵A₁O⊥平面ABCD,
∴A₁O是三棱柱ABDA₁B₁D₁的高.
又∵AO=AC=1,AA₁=,
∴A₁O==1.
又∵S_△ABD=××=1,
∴=S_△ABD×A₁O=1.