Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与圆相切，求的值；

（2）若函数在上存在极值，求的取值范围；

（3）若函数有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（1）；（2）．

【解析】分析：（1）求出的导函数，将代入求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程.再利用直线与圆相切的条件：圆心到切线的距离等于圆的半径，即可求得到的值.

（2）将函数在上存在极值，转化为在上存在零点，且零点左右符号相反.由题可知在上的增函数，根据零点存在性定理得，求解不等式组得到的取值范围.

（3）根据在上的增函数，存在极小值点，，且在左右分别找到和，满足，时，求解出的取值范围.

详解：解：（1）∵，由，，故曲线在点处的切线方程为：，整理为：，

由切线与圆相切有，解得：.

（2）∵为上的增函数，

∴，即，解得：.

（3）由，当时由函数为增函数，

则函数若存在零点，有且仅有一个，令.

①当时，，

令，由有，

故当时函数单调递增，当单调递减，

又由，，，

可知当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增，

故，此时函数有且只有一个零点.

②当时，由，，故方程在区间上有解.

③当时，由， ，

故方程在区间上有解，

由上知当时函数有唯一的极小值点，记为，有，可得，

要使得函数有两个零点，至少需要 ，可得，

由函数单调递增，且，可得：，由，可得，

由上知当时，，且，

而 ，

由常用不等式，可知，故 ，

又，

故 ，

故此时函数有且仅有两个零点，

由上知的取值范围为.