Question

【题目】已知动点与点的距离和它到直线：的距离的比是.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知定点，若，是轨迹上两个不同动点，直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）斜率为定值，该值为1.

【解析】

(1)由动点与点的距离和它到直线：的距离的比是，可得方程，化简可得的轨迹的方程；

（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为,可得所以直线的方程为，直线的方程为. 设点，，由，因为点在椭圆上,可得的值，的值，可得直线的斜率为定值.

解：（1）设是点到直线：的距离，依题意可得，

点的轨迹就是集合：，

由此得，

将上式两边平方，并化简得，

即点的轨迹方程是.

（2）因为，

设直线的斜率为，则直线的斜率为.

所以直线的方程为，

直线的方程为.

设点，，由，

得 （1）

因为点在椭圆上，所以是方程（1）的一个根，

则，所以.

同理，所以，.

又，

所以直线的斜率，

所以直线的斜率为定值，该值为1.