Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）求证：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求二面角C₁-BD-C的正切值．

Answer 1

分析：（I）由正方体的性质，证出四边形BB₁D₁D是平行四边形，可得B₁D₁∥BD，利用线面平行判定定理即可证出B₁D₁∥平面BC₁D；
（II）连结AC交BD于O，连结C₁O，由正方体的性质结合线面垂直的判定与性质，证出BD⊥平面AA₁C₁C，从而∠C0C₁就是二面角C₁-BD-C的平面角，RtC0C₁中利用三角函数的定义，即可算出即二面角C₁-BD-C的正切值等于

2

．

解答：解：（I）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁
∴四边形BB₁D₁D是平行四边形，可得B₁D₁∥BD
∵B₁D₁?平面BC₁D，BD?平面BC₁D，
∴B₁D₁∥平面BC₁D；
（II）连结AC，交BD于O，连结C₁O
∵CC₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴CC₁⊥BD
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，CC₁∩AC=C
∴BD⊥平面AA₁C₁C
结合C₁O?平面AA₁C₁C，得BD⊥C₁O
因此∠C0C₁就是二面角C₁-BD-C的平面角
设正方体的棱长为1，
则RtC0C₁中，CC₁=1，C0=

2

2

∴tan∠C0C₁=

CC1

CO

=

2

，即二面角C₁-BD-C的正切值等于

2

．

点评：本题在正方体中证明线面平行，并求二面角的大小．着重考查了正方体的性质、线面平行判定定理和线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．