Question

（2006•朝阳区二模）四棱锥P-ABCD中，侧面APD⊥底面ABCD，∠APD=∠BAD=90°，∠ADC=60°，E为AD上一点，AE=2，AP=6，AD=CD=8，AB=2

3

．
（Ⅰ）求证AB⊥PE；
（Ⅱ）求证：CD∥平面PBE；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证证AB⊥PE，只要证明AB垂直于PE所在的平面即可，利用面面垂直的性质能够得到BA垂直于平面PAD，则问题得到证明；
（Ⅱ）要证CD∥平面PBE，只要证明CD平行于平面PBE内的一条直线即可，在直角三角形BAE中，通过解直角三角形求出∠BEA的大小，然后利用同位角相等直线平行得结论；
（Ⅲ）可以直接找二面角的平面角，根据侧面APD⊥底面ABCD，过C作AD的垂线，再过垂足作PD的垂线，连接垂足和C，则二面角的平面角得到，然后通过解直角三角形求解，也可以利用空间直角坐标系解决．

解答：（Ⅰ）证明：
∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，
∵侧面APD⊥底面ABCD，∴AB⊥面APD．
∵PE?面APD，∴AB⊥PE．
（Ⅱ）证明：∵∠BAD=90°，AB=2

3

，AE=2，
∴∠AEB=60°．
∵∠ADC=60°，CD、BE共面，∴CD∥BE．
又CD?面PBE，BE?面PBE，
∴CD∥面PBE．
（Ⅲ）解：法一、
在面ABCD内作CF⊥AD，垂足为F，
∵侧面APD⊥底面ABCD，∴CF⊥面APD．
在面APD内作FG⊥PD，垂足为G，连结CG，则CG⊥PD，
∴∠CGF是二面角A-PD-C的平面角．
∴FC=8sin60°=4

3

，FD=8cos60°=4．
∵AP⊥PD，∴AP=2FG=6，于是FG=3．
∴tan∠CGF=

FC

FG

=

4 3

3

．∴∠CGF=arctan

4 3

3

为所求．
法二、
如图建立空间直角坐标系．

所以D（0，

7

2

，0），P（0，0，

3 7

2

），C（4

3

，

1

2

，0）

PD

=(0，

7

2

，-

3 7

2

)，

PC

=(4

3

，

1

2

，-

3 7

2

)
设平面PCD的一个法向量为

m

=(x，y，z)
由

m • PD =0 m • PC =0

，得

7 2 y- 3 7 2 z=0 4 3 x+ 1 2 y- 3 7 2 z=0

．
取x=

3

，得

m

=(

3

，3，

7

)．
平面APD的一个法向量为

n

=(1，0，0)
设所求二面角的大小为θ，
∵

m

•

n

=（

3

，3，

7

）•（1，0，0）=

3

，|

m

||

n

|=

3+9+7

=

19

，
∴cosθ=

3

19

=

57

19

．∴θ=arccos

57

19

．
∴所求二面角的大小为arccos

57

19

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面垂直的性质，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角的常用方法，利用空间直角坐标系求解空间角能起到事半功倍的效果，此题是中档题．