Question

已知α，β是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数的定义域为[α，β]．
（Ⅰ）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并证明．
（Ⅱ）记：g（k）=maxf（x）-minf（x），若对任意k∈R，恒有成立，
求实数a 的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）证一：设α≤x₁＜x₂≤β，则4x₁²-4tx₁-1≤0，4x₂²-4tx₂-1≤0，
∴
则
又
故f（x）在区间[α，β]上是增函数． …．…．（6分）
证二：
易知：当x∈[α，β]时，4x²-4kx-1≤0，∴
故f（x）在区间[α，β]上是增函数．
（Ⅱ）恒成立．，∴…（13分）
分析：（Ⅰ）证一：根据题意可设α≤x₁＜x₂≤β，利用4x₁²-4tx₁-1≤0，4x₂²-4tx₂-1≤0，求得，从而可判断的符号，即可判断函数f（x）在定义域内的单调性；
证二：可求f′（x），利用x∈[α，β]时，4x²-4kx-1≤0可得，从而可判断f′（x）的符号，可以判断函数f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在区间[α，β]上是增函数，maxf（x）=f（β），minf（x）=f（α），，分离出a，即整理成k是a的函数，利用基本不等式可求得a的取值范围．
点评：本题考查函数单调性及其证明，难点在于证法一中“”符号的确定及证法二中“”的分析，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．