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    对于定义在区间D上的函数f（x），若满足对?x1，x2∈D，且x1＜x2时都有 f（x1）≥f（x2），则称函数f（x）为区间D上的“非增函数”．若f（x）为区间[0，1]上的“非增函数”且f（0）=l，f（x）+f（l-x）=l，又当x∈[0，
    1
    4
    ]时，f（x）≤-2x+1恒成立．有下列命题：
    ①?x∈[0，1]，f（x）≥0；
    ②当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，时，f（x1）≠f（x）
    ③f（
    1
    8
    ）+f（
    5
    11
    ）+f（
    7
    13
    ）+f（
    7
    8
    ）=2；
    ④当x∈[0，
    1
    4
    ]时，f（f（x））≤f（x）．
    其中你认为正确的所有命题的序号为______．
    对于①，因为f（0）=1，且f（x）+f（l-x）=l，取x=0，得f（1）=0，对?x∈[0，1]，根据“非增函数”的定义知f（x）≥0．所以①正确；
    对于②，由定义可知当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，f（x1）与f（x2）可能相等．所以②不正确；
    ③由f（x）+f（l-x）=l，得f（
    1
    8
    ）+f（
    7
    8
    ）=1．因为当x∈[0，
    1
    4
    ]时f（x）≤-2x+1恒成立，所以f（
    1
    4
    ）≤
    1
    2
    ，又f（x）+f（l-x）=l，所以f（
    1
    2
    ）=
    1
    2
    ，而
    1
    4
    ＜
    1
    2
    ，所以f（
    1
    4
    ）≥
    1
    2
    ，即f（
    1
    4
    ）=
    1
    2
    ，同理有f（
    3
    4
    ）=
    1
    2
    ，当x∈[
    1
    4
    ，
    3
    4
    ]时，由“非增函数”的定义可知，f（
    3
    4
    ）≤f（x）≤f（
    1
    4
    ），即f（x）=
    1
    2
    ．所以f（
    5
    11
    ）=f（
    7
    13
    ）=
    1
    2
    ．所以f（
    1
    8
    ）+f（
    5
    11
    ）+f（
    7
    13
    ）+f（
    7
    8
    ）=2，所以③成立．
    ④当x∈[0，
    1
    4
    ]时，x≤-2x+1，因为函数f（x）为区间D上的“非增函数”，所以f（x）≥f（-2x+1），所以f（f（x））≤f（-2x+1）≤f（x）．所以④正确．
    故答案为：①③④．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．
    （Ⅰ）判断函数f1（x）=|x-1|+|x-2|和f2（x）=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
    （Ⅱ）设f（x）是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，求实数x的取值范围；
    （Ⅲ）若函数g(x)=mx+
    		x2+2x+n
    是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，求m和n的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•成都二模）对于定义在区间D上的函数f（x），若满足对?x1，x2∈D，且x1＜x2时都有 f（x1）≥f（x2），则称函数f（x）为区间D上的“非增函数”．若f（x）为区间[0，1]上的“非增函数”且f（0）=l，f（x）+f（l-x）=l，又当x∈[0，
    1
    4
    ]    时，f（x）≤-2x+1恒成立．有下列命题：
    ①?x∈[0，1]，f（x）≥0；
    ②当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，时，f（x1）≠f（x）
    ③?x∈[
    1
    4
    ，
    3
    4
    ]    时，都有f(x)=
    1
    2

    ④函数f（x）的图象关于点(
    1
    2
    ，
    1
    2
    )    对称
    其中你认为正确的所有命题的序号为
    ①③④
    ①③④
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•盐城一模）对于定义在区间D上的函数f（x），若任给x0∈D，均有f（x0）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．
    （1）试判断f（x）=x-1在区间[-2.1]上是否封闭，并说明理由；
    （1）若函数g（x）=
    3x+ax+1
    在区间[3，10]上封闭，求实数a的取值范围；
    （1）若函数h（x）=x3-3x在区间[a，b[（a，b∈Z）上封闭，求a，b的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•绵阳三模）对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]?D和常数c，．使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（X）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：
    ①“平顶型”函数在定义域内有最大值；
    ②“平顶型”函数在定义域内一定没有最小值；
    ③函数f（x）=-|x+2|-|x-1|为R上的“平顶型”函数；
    ④函数f（x）=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数．
    则以上说法中正确的是
    ①③
    ①③
    ．（填上你认为正确结论的序号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•绵阳三模）对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]?D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：
    ①“平顶型”函数在定义域内有最大值；
    ②函数f（x）=x-|x-2|为R上的“平顶型”函数；
    ③函数f（x）=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；
    ④当t≤
    3
    4
    时，函数，f(x)=
    2，(x≤1)
    log
    1
    2
    (x-t)，(x＞1)
    是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．
    其中正确的是
    ①②④
    ①②④
    ．（填上你认为正确结论的序号）

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