Question

【题目】已知 是平面内凸三十五边形的35个顶点，且中任何两点之间的距离不小于 . 证明：从这35个点中可以选出五个点，使得这五个点中任意两点之间的距离不小于3．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

先证明一个引理

引理 设 为 这35个点中的任意一点．则在余下的34个点中，至多六个点与点的距离小于3．

证明 用反证法.

如图，假设有7个点(不妨设为)与点的距离小于3．

由题设知.

故 这六个角中至少有一个角不大于（不妨设）.

设，.则.

根据对称性不妨设.

由于，因此，

在区间)上为增函数．

故.

从而，与条件矛盾.

回到原题．

根据引理，从点出发的34条线段中至多有6条线段的长度小于3，即至少有28条线段的长度不小于3．不妨设线段的长度不小于3.

再考虑从点出发的27条线段．同理，至少有21条线段的长度不小于3．不妨设线段的长度不小于3．

再考虑从点出发的20条线段．同理，至少有14条线段的长度不小于3．不妨设线段的长度不小于3．

再考虑从点出发的13条线段．同理，至少有7条线段的长度不小于3．不妨设线段的长度不小于3．

这样得到五个点、、、、 ，其中任意两点之间的距离不小于3．