Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₅=5，若（6-a₁）=a₂+a₃，且A、B、C三点共线（O为该直线外一点）；点列（n，b_n）在函数x的反函数的图象上．
（1）求a_n和b_n；
（2）记数列C_n=a_nb_n+b_n（n∈N^*），若{C_n}的前n项和为T_n，求使不等式成立的最小自然数n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三点共线的结论，可得6-a₁=a₂+a₃，结合a₅=5，求出首项与公差，可求a_n；利用点列（n，b_n）在函数x的反函数的图象上，可求b_n；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法求和，即可求得结论．
解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，则
∵（6-a₁）=a₂+a₃，且A、B、C三点共线，
∴由三点共线的条件，可得6-a₁=a₂+a₃，∴a₁+d=2，
∵a₅=5，∴a₁+4d=5，
∴d=1，a₁=1，
∴a_n=n；
∵点列（n，b_n）在函数x的反函数的图象上
∴；
（2）C_n=a_nb_n+b_n=，
∴T_n=，
∴T_n=
两式相减，可得T_n==
∴T_n=
∴3-T_n=
∴等价于
∴n＞6
∴使不等式成立的最小自然数n的值为7．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的联系，确定数列的通项，正确求和是关键．