Question

【题目】设数列，，的前项和分别为，，，且对任意的都有，已知，数列和是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若数列的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列；

（3）若，且，，求数列，的通项公式.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）或或.（3），，.

【解析】

（1）根据得作差即可得证；

（2）分类讨论删除的项，分析等比数列的通项公式；

（3）求出，根据，所以，转化为不等式恒成立求参数，即可得解.

解：（1）因为，①

所以，②

②-①得，

即，③

所以.④

④-③得，即

因为，所以数列是等差数列.

（2）在中，令得，

设数列的公差为，则，

因为数列的前4项，，，删去1项后成等比数列，所以有

①若删去或，剩下的三项连续，若成等比数列，则，则数列的通项公式为；

②若删去，即，，成等比数列，则，解得或，则数列的通项公式为或；

③若删去，即，，成等比数列，则，解得或，则数列的通项公式为或.

综上所述，满足条件的数列有或或.

（3），则，.

因为对任意的都有，所以对任意的都有.

设数列，的公差分别为，，则

，，

所以即①

因为对任意的都有，

所以，

整理得，，

所以，且由可得，②

因为数列，的各项均为非负整数，

所以由②得，.③

由①③得且，

故，，.