Question

（2013•江苏）设{a_n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S_n是其前n项和．记bn=

nSn

n2+c

，n∈N^*，其中c为实数．
（1）若c=0，且b₁，b₂，b₄成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N^*）；
（2）若{b_n}是等差数列，证明：c=0．

Answer 1

分析：（1）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b₁，b₂，b₄成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到S_n，在前n项和公式中取n=nk可证结论；
（2）把S_n代入bn=

nSn

n2+c

中整理得到b_n=

(n-1)d+2a

2

-

c (n-1)d+2a 2

n2+c

，由等差数列的通项公式是a_n=An+B的形式，说明

c (n-1)d+2a 2

n2+c

=0，由此可得到c=0．

解答：证明：（1）若c=0，则a_n=a₁+（n-1）d，Sn=

n[(n-1)d+2a]

2

，bn=

nSn

n2

=

(n-1)d+2a

2

．
当b₁，b₂，b₄成等比数列时，则b22=b1b4，
即：(a+

d

2

)2=a(a+

3d

2

)，得：d²=2ad，又d≠0，故d=2a．
因此：Sn=n2a，Snk=(nk)2a=n2k2a，n2Sk=n2k2a．
故：Snk=n2Sk（k，n∈N*）．
（2）bn=

nSn

n2+c

=

n2 (n-1)d+2a 2

n2+c

=

n2 (n-1)d+2a 2 +c (n-1)d+2a 2 -c (n-1)d+2a 2

n2+c

=

(n-1)d+2a

2

-

c (n-1)d+2a 2

n2+c

．  ①
若{b_n}是等差数列，则{b_n}的通项公式是b_n=A_n+B型．
观察①式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：

c (n-1)d+2a 2

n2+c

=0，即c

(n-1)d+2a

2

=0，而

(n-1)d+2a

2

≠0，
故c=0．
经检验，当c=0时{b_n}是等差数列．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，考查了学生的运算能力，解答此题的关键是理解并掌握非常数等差数列的通项公式是关于n的一次函数，此题是中档题．